PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

PPT BISA DOWNLOAD DISINI

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

Rinaldi M/IF2091 Strukdis 1
Graf Planar (Planar Graph) dan
Graf Bidang (Plane Graph)
Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar
dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan)
disebut graf planar,
jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.
K4 adalah graf planar:
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 2
K5 adalah graf tidak planar:
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 3
Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang
tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane
graph).
(a) (b) (c)
Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 4
Persoalan utilitas (utility problem)
(a) (b)
(a) Graf persoalan utilitas (K3,3), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar.
H2
H3
W G E
H2
H3
W G E
H1
H1
Aplikasi Graf Planar
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 5
Aplikasi Graf Planar

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

Perancangan IC (Integrated Circuit)
Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam ICboard yang saling bersilangan → dapat
menimbulkan interferensi arus listrik →
malfunction
Perancangan kawat memenuhi prinsip graf
planar
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 6
Latihan
Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga
tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi
graf bidang). (Solusi: graf kanan)
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 7
Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar
menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).
Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6
wilayah (termasuk wilayah terluar):
R1
R2
R3
R5
R4
R6
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 8
Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e),
dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang:
n – e + f = 2 (Rumus Euler)
Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka
7 – 11 + 6 = 2.
R1
R2 R3

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

R5
R4
R6
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 9
Latihan
Misalkan graf sederhana planar memiliki 24
buah simpul, masing-masing simpul
berderajat 4. Representasi planar dari graf
tersebut membagi bidang datar menjadi
sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak
wilayah yang terbentuk?
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 10
Jawaban:
Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah
derajat seluruh simpul = 24  4 = 96.
Menurut lemma jabat tangan,
jumlah derajat = 2  jumlah sisi,
sehingga
jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48
Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga
f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 11
Pada graf planar sederhana terhubung dengan f
buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2)
selalu berlaku:
e  3n – 6
Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan
ketidaksamaan Euler,
yang dapat digunakan untuk menunjukkan
keplanaran suatu graf sederhana
kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan
Euler, sebaliknya jika tidak planar maka

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 12
Contoh: Pada K4
, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan
Euler, sebab
6  3(4) – 6. Jadi, K4
adalah graf planar.
Pada graf K5
, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi
ketidaksamaan Euler sebab
10  3(5) – 6. Jadi, K5
tidak planar
K4 K5 K3,3
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 13
Ketidaksamaan e  3n – 6 tidak berlaku untuk K3,3
karena
e = 9, n = 6
9  (3)(6) – 6 = 12 (jadi, e  3n – 6)
padahal graf K3,3 bukan graf planar!
Buat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar
dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi,
Dari penurunan rumus diperoleh
e  2n - 4
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 14
Contoh Graf K3,3 pada Gambar di bawah memenuhi
ketidaksamaan e  2n – 4, karena
e = 9, n = 6
9  (2)(6) – 4 = 8 (salah)
yang berarti K3,3 bukan graf planar.

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

H2
H3
W G E
H2
H3
W G E
H1
H1
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 15
Teorema Kuratoswki
Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran
suat graf.
(a) (b) (c)
Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K5
)
(b) Graf Kuratowski kedua (K3, 3)
(c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 16
Kazimierz Kuratowski (February 2, 1896 – June 18, 1980)
was a Polish mathematician and logician. He was one of the
leading representatives of the Warsaw School of Mathematics.
(Sumber: Wikipedia)
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 17
Sifat graf Kuratowski adalah:
1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.
2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar
3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski
menyebabkannya menjadi graf planar.
4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar
dengan jumlah simpul minimum, dan graf
Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan
jumlah sisi minimum.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 18
TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan
hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik
dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik
(homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.
G1 G2 G3
Gambar Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain.
v
x
y
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 19
Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk
memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan
graf planar karena ia mengandung upagraf (G1
) yang

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

sama dengan K3,3.
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf yang sama dengan K3,3.
a b
c
f e d
a b
c
f e d
G
G1
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 20
Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G1
)
yang homeomorfik dengan K5 (dengan membuang
simpul-simpul yang berderajat 2 dari G1, diperoleh K5
).
G G1 K5
Gambar Graf G, upagraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5.
a
b
c
d
g f e
h
a
b
c
d
g f e
h
i i
a
c
g e
h
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 21
Latihan
Perlihatkan dengan teorema Kuratowski
bahwa graf Petersen tidak planar.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 22
Jawaban:
1
2
3
4
5
6 7
9 8
1 0
1
2
3
4
5
6 7
9 8
1
2

PENJELASAN LENGKAP DAN MUDAH DIPAHAMI MENGENAI GRAF PLANALAR PPT

3
4
5
6
(a) Graf Petersen, G (b) G1
(c) G2
(d) K3,3
1
2 4 6
3 5
Gambar (a) Graf Petersen
(b) G1 adalah upagraf dari G
(c) G2 homeomorfik dengan G1
(d) G2 isomorfik dengan K3,3

Tweet

Postingan terkait:

— Sunday, May 31, 2020 — Add Comment — matematika