Terminologi Graf

pdf bisa dilihat disini

Terminologi Graf

Rinaldi M/IF2091 Strukdis 1
Terminologi Graf
1. Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung
langsung.
Tinjau graf G1 : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3,
simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4. G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 2
2. Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi e = (vj
, vk
) dikatakan
e bersisian dengan simpul vj
, atau
e bersisian dengan simpul vk
Tinjau graf G1: sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3,
sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4,
tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4. G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 3
3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang
bersisian dengannya.
Tinjau graf G3: simpul 5 adalah simpul terpencil. G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 4
4. Graf Kosong (null graph atau empty graph)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn
).
Graf N5 :
1
2
3
4
5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 5
5. Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan
simpul tersebut.
Notasi: d(v)
Tinjau graf G1: d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
Tinjau graf G3: d(5) = 0 → simpul terpencil
d(4) = 1 → simpul anting-anting (pendant vertex)
Tinjau graf G2: d(1) = 3 → bersisian dengan sisi ganda
d(2) = 4 → bersisian dengan sisi gelang (loop)
G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 6
Pada graf berarah,
din(v) = derajat-masuk (in-degree)
= jumlah busur yang masuk ke simpul v
dout(v) = derajat-keluar (out-degree)
= jumlah busur yang keluar dari simpul v
d(v) = din(v) + dout(v)
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 7
G4 G5
Tinjau graf G4:
din(1) = 2; dout(1) = 1
din(2) = 2; dout(2) = 3
din(3) = 2; dout(3) = 1
din(4) = 1; dout(3) = 2
1 1
2 3
4
2 3
4
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 8
G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Lemma Jabat Tangan. Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf
adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.
Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka d v E
v V
 ( ) = 2

Tinjau graf G1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10
= 2  jumlah sisi = 2  5
Tinjau graf G2: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10
= 2  jumlah sisi = 2  5
Tinjau graf G3: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)
= 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8
= 2  jumlah sisi = 2  4
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 9
Akibat dari lemma (corollary):
Teorema: Untuk sembarang graf G,
banyaknya simpul berderajat ganjil
selau genap.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 10
Contoh 2. Diketahui graf dengan lima buah simpul. Dapatkah kita
menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul
adalah:
(a) 2, 3, 1, 1, 2
(b) 2, 3, 3, 4, 4
Penyelesaian:
(a)tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil
(2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).
(b) dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya genap
(2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 11
Latihan
Mungkinkah dibuat graf-sederhana 5 simpul
dengan derajat masing-masing simpul
adalah:
(a) 5, 2, 3, 2, 4
(b) 4, 4, 3, 2, 3
(c) 3, 3, 2, 3, 2
(d) 4, 4, 1, 3, 2
Jika mungkin, berikan satu contohnya, jika
tidak mungkin, berikan alasan singkat.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 12
Jawaban:

Terminologi Graf

(a) 5, 2, 3, 2, 4: Tidak mungkin, karena ada
simpul berderajat 5
(b) 4, 4, 3, 2, 3: Mungkin [contoh banyak]
(c) 3, 3, 2, 3, 2: Tidak mungkin, karena jumlah
simpul berderajat ganjil ada 3 buah (alasan
lain, karena jumlah derajat ganjil)
(d) 4, 4, 1, 3, 2: Tidak mungkin, karena simpul1 dan simpul-2 harus bertetangga dengan
simpul sisanya, berarti simpul-3 minimal
berderajat 2 (kontradiksi dengan simpul-3
berderajat 1)
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 13
6. Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan
vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul
dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn
sedemikian sehingga e1 = (v0, v1
), e2 = (v1, v2
), ... , en = (vn-1, vn
)
adalah sisi-sisi dari graf G.
Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2),
(2,4), (4,3).
Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2,
4, 3 pada G1 memiliki panjang 3. G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 14
7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama
disebut sirkuit atau siklus.
Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit
1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3. G1 G2 G3
1
3
2
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e 3 5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 15
8. Terhubung (Connected)
Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat
lintasan dari v1 ke v2.
G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap
pasang simpul vi
dan vj
dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi
ke vj
.
Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected
graph).
Contoh graf tak-terhubung:
1
2
3
4
5
6
8 7
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 16
• Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak
berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh
dengan menghilangkan arahnya).
• Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung
kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari
u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.
• Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf
tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah
(weakly coonected).
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 17
• Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly
connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul
sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G
disebut graf terhubung lemah.
graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat
1
2
3 4
1
2 3
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 18
8. Upagraf (Subgraph) dan Komplemen Upagraf
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1
) adalah
upagraf (subgraph) dari G jika V1  V dan E1  E.
Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2,
E2
) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan
simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
(a) Graf G1 (b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari upagraf (b)
1
2

Terminologi Graf

3
4 5
6
1
6
5
3
1
2
3
5
2
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 19
Komponen graf (connected component) adalah jumlah maksimum
upagraf terhubung dalam graf G.
Graf G di bawah ini mempunyai 4 buah komponen.
1
2 3 4
5
6 7
8
9
10
11
12
13
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 20
Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected
component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung
kuat.
Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:
2 3
4
5
1
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 21
9. Upagraf Rentang (Spanning Subgraph)
Upagraf G1 = (V1, E1
) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang
jika V1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).
(a) graf G, (b) upagraf rentang dari G, (c) bukan upagraf rentang dari G
1
2 3
4 5
1
2 3
4 5
1
2 3
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 22
10. Cut-Set
Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila
dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set
selalu menghasilkan dua buah komponen.
Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set.
Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.
Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)}
adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set,
tetapi {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan
bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.
(a) (b)
1
3 4
5
2
6
1 2
3
5
4
6
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 23
11. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga
(bobot).
a
b
d c
e
10 12
8
15 9
11
14
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 24
Beberapa Graf Khusus
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi
ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan
dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul
adalah n(n – 1)/2.
K1 K2 K3 K4 K5 K6
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 25
b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.
Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 26
c. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf
teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut
sebagai graf teratur derajat r.Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 27
Latihan
Berapa jumlah maksimum dan jumlah
minimum simpul pada graf sederhana
yang mempunyai 16 buah sisi dan tiap
simpul berderajat sama dan tiap simpul
berderajat ≥ 4 ?
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 28
Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf
teratur.
Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e =
nr/2. Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r.
Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah
maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.
Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagi
bilangan bulat dari 32):
r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat
graf sederhana.
r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat
graf sederhana.
Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah
(maksimum dan minimum).
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 29
d. Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan
sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan
dinyatakan sebagai G(V1, V2
).
V1 V2
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 30
Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena simpul-simpunya dapat
dibagi menjadi V1 = {a, b, d} dan V2 = {c, e, f, g}
G

Terminologi Graf

graf persoalan utilitas (K3,3), topologi bintang
H2
H3
W G E
H1
a b
c
e d
f
g

Tweet

Postingan terkait:

— Monday, May 25, 2020 — Add Comment — matematika