hiperbola (cara menemukan persamaan, proses terbentuk, irisan kerucut, unsur-unsur, contoh soal dan jawaban)

download ppt nya disini

Irisan kerucut adalah irisan bidang dengan kerucut tegak.

 

Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik P(x,y)) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ( F_1dan F_2 ) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. 〖|F〗_2 P|-〖|F〗_1 P|=2a

 

Menemukan persamaan hiperbola (0,0) horizontal

Misalkan |F_1 F_2 |=2c

〖|F〗_2 P|-〖|F〗_1 P|=2a

√(〖(c+x)〗^2+y^2 )-√(〖(c-x)〗^2+y^2 )=2a

√(〖(c+x)〗^2+y^2 )=2a+√(〖(c-x)〗^2+y^2 )

〖(c+x)〗^2+y^2=〖4a〗^2+4a√(〖(c-x)〗^2+y^2 ) 〖+(c-x)〗^2+y^2

c^2+2cx+x^2+y^2=〖4a〗^2+4a√(〖(c-x)〗^2+y^2 ) 〖+c〗^2-2cx+x^2+y^2

4cx〖-4a〗^2=4a√(〖(c-x)〗^2+y^2 )

cx〖-a〗^2=a√(〖(c-x)〗^2+y^2 )

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 ((c-x)^2+y^2)

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 (c^2-2cx+x^2+y^2)

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 c^2-2a^2 cx+〖a^2 x〗^2+a^2 y^2

c^2 x^2-2a^2 cx+2a^2 cx-〖a^2 x〗^2-a^2 y^2=a^2 c^2-a^4

c^2 x^2-〖a^2 x〗^2-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2)

x^2 (c^2-a^2)-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2)

x^2 b^2-a^2 y^2=a^2 b^2

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

 

Persamaan hiperbola (0,0) horizontal

Persamaan umum  x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

Titik fokus Hiperbola F_1 (-c,0) 〖, F〗_2 (c,0)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu X dan Sumbu sekawan = sumbu Y

Sumbu nyata, yang melalui titik focus, AB=2a

Sumbu imajiner, yang tegak lurus dengan

titik focus, CD=2b.

Titik puncak Hiperbola, A(-a,0) dan B(a,0) adalah 

titik potong Hiperbola dengan sumbu nyata

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a adalah garis melalui titik 

focus F_1 dan 〖, F〗_2  yang tegak lurus dengan sumbu nyata. 

c^2=a^2+b^2

Eksentrisitas e=c/a adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu nyatanya.

Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu nyata yang ditunjukkan oleh garis g (x=-a^2/c) dan garis h (x=a^2/c). 

 

tentukan titik pusat, titik fokus, sumbu simetri, sumbu nyata, sumbu imajiner, titik puncak, LR, eksentrisitas, dan direktris persamaan parabola berikut ini   16x^2-9y^2=144… 

x^2/9-y^2/16=1, dibagi 144, Titik pusat M(0,0)

c^2=a^2+b^2  ,c^2=9+16, c=5,a=3,b=4

Titik fokus Hiperbola F_1 (-c,0) 〖, F〗_2 (c,0),F_1 (-5,0) 〖, F〗_2 (5,0)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu x dan Sumbu sekawan = sumbu y

Sumbu nyata, AB=2a=6

Sumbu imajiner, CD=2b=8

Titik puncak Hiperbola, A(-a,0) dan B(a,0), A(-3,0) dan B(3,0) 

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a=〖2.4〗^2/3=32/3=10 2/3

Eksentrisitas e=c/a=5/3

Direktris an oleh garis g (x=-a^2/c) dan garis h (x=a^2/c)

g (x=-9/5) dan garis h (x=9/5). 

Menemukan persamaan hiperbola (0,0) vertikal

Misalkan |F_1 F_2 |=2c

〖|F〗_2 P|-〖|F〗_1 P|=2a

√(〖(c+y)〗^2+x^2 )-√(〖(c-y)〗^2+x^2 )=2a

√(〖(c+y)〗^2+x^2 )=2a+√(〖(c-y)〗^2+x^2 )

〖(c+y)〗^2+x^2=〖4a〗^2+4a√(〖(c-y)〗^2+x^2 ) 〖+(c-y)〗^2+x^2

c^2+2cy+y^2+x^2=〖4a〗^2+4a√(〖(c-y)〗^2+x^2 ) 〖+c〗^2-2cy+y^2+x^2

4cy〖-4a〗^2=4a√(〖(c-y)〗^2+x^2 )

cy〖-a〗^2=a√(〖(c-y)〗^2+x^2 )

c^2 y^2-2a^2 cy+a^4=a^2 ((c-y)^2+x^2)

c^2 y^2-2a^2 cy+a^4=a^2 (c^2-2cy+y^2+x^2)

c^2 y^2-2a^2 cy+a^4=a^2 c^2-2a^2 cy+〖a^2 y〗^2+a^2 x^2

c^2 y^2-2a^2 cy+2a^2 cy-〖a^2 y〗^2-a^2 x^2=a^2 c^2-a^4

c^2 y^2-〖a^2 y〗^2-a^2 x^2=a^2 (c^2-a^2)

y^2 (c^2-a^2)-a^2 x^2=a^2 (c^2-a^2)

y^2 b^2-a^2 x^2=a^2 b^2

y^2/a^2 -x^2/b^2 =1

 

Persamaan hiperbola (0,0) vertikal

Persamaan umum  y^2/a^2 -x^2/b^2 =1

Titik fokus Hiperbola F_1 (0,-c) 〖, F〗_2 (0,c)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu y dan Sumbu sekawan = sumbu x

Sumbu nyata, AB=2a

Sumbu imajiner, CD=2b.

Titik puncak Hiperbola, A(0,-a) dan B(0,a) 

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a 

c^2=a^2+b^2

Eksentrisitas e=c/a 

Direktris an oleh garis g (x=-a^2/c) dan garis h (x=a^2/c). 

 

tentukan titik pusat, titik fokus, sumbu simetri, sumbu nyata, sumbu imajiner, titik puncak, LR, eksentrisitas, dan direktris persamaan parabola berikut ini 16y^2-9x^2=144…

y^2/9-x^2/16=1, dibagi 144

c^2=a^2+b^2  ,c^2=9+16, c=5,a=3,b=4

Titik pusat M(0,0)

Titik fokus Hiperbola F_1 (0,-c) 〖, F〗_2 (0,c),F_1 (0,-5) 〖, F〗_2 (0,5)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu y dan Sumbu sekawan = sumbu x

Sumbu nyata, AB=2a=6

Sumbu imajiner, CD=2b=8

Titik puncak Hiperbola, A(0,-a) dan B(0,a), A(0,-3) dan B(0,3) 

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a=〖2.4〗^2/3=32/3=10 2/3

Eksentrisitas e=c/a=5/3

Direktris an oleh garis g (x=-a^2/c) dan garis h (x=a^2/c)

g (x=-9/5) dan garis h (x=9/5). 

Menemukan persamaan hiperbola (p,q) vertical dan horizontal

Menggunakan konsep translasi, menggeser (0,0) ke (p,q)

(■(x'@y'))=T+(■(x@y))

(■(x'@y'))=(■(p@q))+(■(x@y))

x^'=p+x,    x^'-p=x

y^'=q+y,    y^'-q=y

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

〖(x^'-p)〗^2/a^2 -〖〖(y〗^'-q)〗^2/b^2 =1

〖(x-p)〗^2/a^2 -〖(y-q)〗^2/b^2 =1

y^2/a^2 -x^2/b^2 =1

((〖y^'-q)〗^2)/a^2 -((〖x^'-p)〗^2)/b^2 =1

〖(y-q)〗^2/a^2 -〖(x-p)〗^2/b^2 =1

 

Persamaan hiperbola (p,q) horizontal

Persamaan umum 〖(x-p)〗^2/a^2 -〖(y-q)〗^2/b^2 =1

Titik pusat (p,q)

Titik fokus Hiperbola F_1 (p-c,q) 〖, F〗_2 (p+c,q)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu x’ dan Sumbu sekawan = sumbu y’

Sumbu nyata, AB=2a

Sumbu imajiner, CD=2b.

Titik puncak Hiperbola, A(p-a,q) dan B(p+a,q)

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a

c^2=a^2+b^2

Eksentrisitas e=c/a 

Direktris, g (x=-a^2/c+p) dan garis h (x=a^2/c+p). 

 

tentukan titik pusat, titik fokus, sumbu simetri, sumbu nyata, sumbu imajiner, titik puncak, LR, eksentrisitas, dan direktris persamaan parabola berikut ini   9x^2-16y^2-180x+288y=540… 

9x^2-180x-16y^2+288y=540

9x^2-180x-16y^2+288y=540

9(x^2-20x)-16(y^2+18y)=540

9((〖x-10)〗^2-100)-16((y+9)^2-81)=540

9〖(x-10)〗^2-900-16〖(y+9)〗^2+1296=540

9〖(x-10)〗^2-16(y+9)^2=540+900-1296

9〖(x-10)〗^2-16〖(y+9)〗^2=144

〖(x-10)〗^2/16-〖(y-9)〗^2/9=1,

c^2=a^2+b^2  ,c^2=16+9, c=5,a=4,b=3

Titik fokus Hiperbola F_1 (p-c,q) 〖, F〗_2 (p+c,q),F_1 (5,9)

〖, F〗_2 (15,9)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu x’ dan Sumbu sekawan = sumbu y’

Sumbu nyata, AB=2a=8

Sumbu imajiner, CD=2b=6

Titik puncak Hiperbola, A(p-a,q) dan B(p+a,q), A(5,9) dan B(14,9) 

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a=〖2.3〗^2/4=18/4

Eksentrisitas e=c/a=5/4

Direktris, g (x=-a^2/c+p) dan h (x=a^2/c+p), g (x=-16/5+10) dan garis h (x=16/5+10). 

Persamaan hiperbola (p,q) vertikal

Persamaan umum 〖(y-q)〗^2/a^2 -〖(x-p)〗^2/b^2 =1

Titik pusat (p,q)

Titik fokus Hiperbola F_1 (p,q-c) 〖, F〗_2 (p,q+c)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu y’ dan Sumbu sekawan = sumbu x’

Sumbu nyata, AB=2a

Sumbu imajiner, CD=2b.

Titik puncak Hiperbola, A(p,q-a) dan B(p,q+a)

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a

c^2=a^2+b^2

Eksentrisitas e=c/a 

Direktris, g (x=-a^2/c+q) dan garis h (x=a^2/c+q). 

 

tentukan titik pusat, titik fokus, sumbu simetri, sumbu nyata, sumbu imajiner, titik puncak, LR, eksentrisitas, dan direktris persamaan parabola berikut ini   9y^2-16x^2-180y+288x=540… 

9y^2-180y-16x^2+288x=540

9y^2-180y-16x^2+288x=540

9(y^2-20y)-16(x^2+18x)=540

9((〖y-10)〗^2-100)-16((x+9)^2-81)=540

9〖(y-10)〗^2-900-16〖(x+9)〗^2+1296=540

9〖(y-10)〗^2-16(x+9)^2=540+900-1296

9〖(y-10)〗^2-16〖(x+9)〗^2=144

〖(y-10)〗^2/16-〖(x-9)〗^2/9=1,

c^2=a^2+b^2  ,c^2=16+9, c=5,a=4,b=3

Titik fokus Hiperbola F_1 (p,q-c) 〖, F〗_2 (p,q+c),F_1 (9,5)

〖, F〗_2 (9,15)

Sumbu Simetri : Sumbu utama = sumbu y’ dan Sumbu sekawan = sumbu x’

Sumbu nyata, AB=2a=8

Sumbu imajiner, CD=2b=6

Titik puncak Hiperbola, A(p,q-a) dan B(p,q+a), A(9,5) dan B(9,13) 

Latus rectum LR=〖2b〗^2/a=〖2.3〗^2/4=18/4

Eksentrisitas e=c/a=5/4

Direktris, g (x=-a^2/c+q) dan h (x=a^2/c+q), g (x=-16/5+10) dan garis h (x=16/5+10). 

Cara Melukis Hiperbola (manual)

-          Mempersiapkan peralatan (kertas, pensil, penghapus, penggaris, jangka)

-       Tentukan hiperbola sperti apa yang akan dilukis, misal 

-       Membuat sumbu  dan sumbu

-          Membuat asimtot dengan cara membuat bangun segi empat terlebih dahulu

-       Membuat bangun segi empat dengan pusat yang sama dengan pusat hiperbola, dengan ukuran  (a dan b diperoleh dari persamaan)

-          Membuat garis asimtot melalui diagonal bangun segi empat yang sudah terbentuk

-          Menentukan titik focus (diperoleh dari persamaan dengan menggunakan formula )

-          Menentukan beberapa titik sembarang di belakang titik focus (dalam hal ini saya membuat 5 titik yaitu Q, W, E, R, T)

-       Mengukur jarak  dengan jangka, dengan mempertahankan ukuran jangka, lukis dua kurva dengan titik tumpu , dan lukis dua kurva dengan titik tumpu

-       Mengukur jarak  dengan jangka, dengan mempertahankan ukuran jangka, lukis dua kurva dengan titik tumpu , dan lukis dua kurva dengan titik tumpu Sampai disini akan terbentuk empat titik dari beberapa kurva yang sudah dilukis.

-          Lanjutkan melukis menggunakan urutan langkah seperti pada titik Q dengan jarak yang berbeda (mengganti titik Q dengan titik yang lain, yaitu: W, E, R, T)

-          Ketika sudah membentuk 20 titik perpotongan kurva, selanjutnya menghubungkan titik titik tersebut sehingga akan membentuk kurva hiperbola (dua garis lengkung).

untuk lebih jelasnya, silahkan lihat video melukis hiperbola berikut ini

Tweet

Postingan terkait:

— Friday, July 10, 2020 — Add Comment — matematika